Tema Nº4: Medidas de tendencia central (Mediana)

La mediana es el valor que se encuentra en la mitad de una serie ordenada de datos o también es aquel valor que se encuentra en la mitad de una muestra o población cuyos valores están ordenados según de forma ascendente o decreciente, es decir, la cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.

 

Se representa con Me

 

Al hallar Me, conocemos la modalidad de la variable por debajo y por encima de la cual se encuentra la mitad de los datos (o sea el 50%).

 

La mediana divide al grupo de datos en dos subgrupos iguales; 50% superior a la Me y 50% inferior a la Me.

 

¿Como hallar la mediana?

 

La mediana  depende del tipo de datos, de la forma de presentación de los mismos, e incluso del número de ellos. Es por ello que es necesario tener en cuenta estas caracteristicas para hallar la mediana por lo que se ha agrupado de las siguiente forma:

 

  1. Cuando la variable no está agrupada.
  2. Cuando la variable está agrupada por modalidades.
  3. Cuando la variable está agrupada por intervalos.

 

1. Cuando la variable no está agrupada.

 

Para este caso se puede ocurrir que el número de datos sea impares o pares. Para cada uno de estos casos se presenta a continuación el procedimiento a seguir.

 

NÚMERO DE DATOS IMPARES

 

Si el número de datos es impar, la mediana es el valor que se encuentra en la mitad después de ordenarlos.

 

Ejemplo Nº 1

 

Encontrar la mediana para los siguientes datos:

 

4- 1- 2- 3- 4- 2- 2- 1- 5- 5- 3

 

Solución:

 

Para encontrar la mediana de los anteriores datos te aconsejamos seguir los siguientes pasos:

 

PASO 1: Ordenar ascendentemente los datos.

 

1- 1- 2- 2- 2- 3- 3- 4- 4- 5- 5

 

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

 

La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.

 

Ejemplo Nº 2

 

Las edades de los niños y niñas de un grupo de música son 11 años, 12 años, 11 años, 13 años y 10 años. Hallar la mediana.

 

Solución

 

PASO 1: Ordenar los datos ascendente o descendentemente.

 10, 11, 11, 12, 13.

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos. Como el número de datos es impar, se escoge el valor que está en el centro de ellos, es decir, el que deja el mismo número de datos a la izquierda y a la derecha de él.

 

10, 11, 11, 12, 13

 

Luego, la mediana o valor central es 11 años.

 

 

NÚMERO DE DATOS PARES

 

 

Cuando el número de datos es par, la mediana es igual a la media de los valores que quedan en la mitad; después de ordenados.

 

Ejemplo Nº 1

 

Encontrar la mediana para los siguientes datos:

 

 

4- 1- 2- 3- 4- 2- 2- 1- 5- 5

 

Solución:

 

Para encontrar la mediana de los anteriores datos te aconsejamos seguir los siguientes pasos:

 

PASO 1: Ordenar los datos ascendente o descendentemente.

 

1- 1- 2- 2- 2- 3- 4- 4- 5- 5

 

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

 

1- 1- 2- 2- 2- 34- 4- 5- 5

 

PASO 3: El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la mediana será 2,5.

 

 

Ejemplo Nº 2

 

Las edades de los integrantes de dos equipos de baloncesto son 9 años, 13 años, 12 años, 10 años, 10 años, 13 años, 12 años, 9 años, 11 años y 12 años. Hallar la mediana o valor central.

 

Solución:

 

Recuerda que el primer paso es ordenar los datos de menor a mayor

 

9, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 13

 

Luego, como el número de datos es par, se escoge los dos valores centrales y se halla el promedio entre ellos.

 

9, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 13

 

X = =11,5

 

Luego, la mediana o valor central es 11,5 años.

 

 

Que se encuentre la media o promedio cuando la variable está agrupada por modalidades.

 

 

· Si el número de frecuencias absolutas acumuladas es par, (de la forma 2q) existen dos medianas que son los valores de la variable que corresponden a los puntos q y q+1, por lo tanto se debe tomar como mediana el promedio de estos dos valores.

 

· Si el número de frecuencias absolutas acumuladas es de la forma 2q +1 (es decir, es un número impar) entonces existe una mediana, que es el valor de la variable que ocupa el puesto q+1

 

b. Cuando la variable está agrupada por intervalos, la mediana la hallamos por medio de la siguiente formula:

 

 

Me = Li + (n/2 – Fm – 1) A

---------------------------------

fm

 

 

 

Para aplicar esta formula debemos primero hallar n/2 lo que identifica el intervalo donde está ubicada la mediana, es decir, Fm

 

Li: es el límite inferior del intervalo que contiene la mediana (donde se encuentra Fm)

 

Fm: frecuencia absoluta acumulada del intervalo o clase que contiene la mediana.

 

Fm -1: Es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al que contiene la mediana.

 

A: es la amplitud del intervalo.

 

fm: es la frecuencia absoluta del intervalo que contiene la mediana.

 

n: número de datos.

 

 

Ejemplos

 

Se toma una muestra, o parte de la población, formada por 50 estudiantes de grado octavo de los colegios de Bogotá para realizar un estudio de la estatura de los niños y niñas de ese grado; con ella se construye una distribución de frecuencias.

 

 

Distribución de frecuencia de la estatura de 50 estudiantes

De grado octavo de colegios de Bogotá

 

 

Marca de clase

xi

Estatura

(en cm.)

Estatura (cm.)

Limites reales

Frecuencia absoluta:

fi

Frecuencia acumulada:

Fi

147

145-149

144.5 - 149.5

3

3

152

150-154

149.5 – 154.5

11

14

157

155-159

154.5 – 159.5

13

27

162

160-164

159.5 – 164.5

14

41

167

165-169

164.5 – 169.5

5

46

172

170-174

169.5 – 174.5

3

49

177

175-179

174.5 – 179.5

1

50

 

Propiedades estadísticas de la mediana

Las siguientes propiedades de la mediana son tomadas del documento: La mediana en la educación secundaria obligatoria: ¿un concepto sencillo? Belén Cobo y Carmen Batanero UNO 23, 85-96, 2000. Obtenido en http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/MEDIANA.pdf

 

Son las que aparecen cuando consideramos la mediana como una medida de posición central.
 
1. Es una medida de tendencia central, aunque puede no coincidir con el centro del recorrido.
 
2. La mediana es un representante o valor típico de un colectivo y proporciona información global sobre la muestra.
 
3. Es un estadístico resistente: con pequeñas fluctuaciones de la muestra no cambia su valor.
 
4. En una distribución simétrica la mediana coincide con la media y la moda (en distribuciones unimodales).
 
5. Si la distribución es asimétrica a la derecha el orden en que aparecen es moda-medianamedia, y si es asimétrica a la izquierda el orden es media-mediana-moda (para distribuciones unimodales).
 
6. Si la distribución es asimétrica es preferible la mediana a la media como medida de tendencia central.
 
7. Existe mediana en distribuciones en las que los datos son ordinales.
 
8. Es preferible la mediana en distribuciones con datos agrupados en intervalos en los que al menos uno es abierto.